Linear û differential equation homojen ên ku fermana yekemîn e. wergerandî yên çareseriyê

Ez difikirim, divê em bi dîroka tool bîrkariyê de berz, wek hevkêşeyên dîferensiyel de dest pê bike. Weke hemû dîferensiyel de û di warê integral, ev hevkêşe bi Newton di dawiya sedsala 17'an de, payeyeke bûn. Ew di wê baweriyê ku ev vedîtina wî ewqas giring e ku, peyama bi şîfre, ku îro dikare wekî dikin wiha bû: ". Hemû zagonên xwezayê şirove destê hevkêşeyên dîferensiyel de" Ev dibe ku têk xuya ye, lê belê ev rast e. Bęjeyek ji qanûna fîzîk, kîmya, biyolojî, dikare ji aliyê van hevkêşeyên ravekirin.

An piştgiriyeke mezin ji pêşketin û afirandinê yên teoriya hevkêşeyên dîferensiyel de heye matematîkê yên Euler û Lagrange. Jixwe di sedsala 18'emîn de ew kifş û bi pêş tiştên ku niha li kursên bilind zanîngehê dixwend.

A de werçerxaneke nû di xebatê de ji hevkêşeyên dîferensiyel de sipas ji bo Anri Puankare dest pê kir. ku zanista fezayî û milkên xwe - Ew "teoriya Çawaniya hevkêşeyên differential", ku, bi hev re bi teoriya fonksiyonên ji guherbarên aloz girîng ji bo damezrandina Topology de keda afirandin.

hevkêşeyên dîferensiyel de çi ne?

Gelek kes ditirsin ku komepeyva "differential equation". Lê belê, di vê gotarê de em ê set derve bi berfirehî li ser esasa vê tool pir kêrhatî yên matematîkê ye ku di rastiyê de wek aloz wek ku ji title xuya ne. Ji bo ku dest bi axaftina li ser a differential equation yekem-da, hûn divê pêşî werin bi têgehên bingehîn ku bi mîratî, bi vê pênase têkildarî hevudu. Û em ê bi dîferensiyel de dest pê bike.

dîferensiyel de

Gelek kes vê term ji ber ku dibistana bilind dizanin. Lê belê, hê jî li ser rûnin li detail. Imagine li grafîka ya function. Em dikarin wê ji bo wê radeyê ku ti girse xwe a line sererast bibe, zêde dibe. Ev du xalên ku zahf ji hev nêz in, bigirin. Ferqa di navbera koordînatên xwe (x an y) infinitesimal e. Û ku navê differential û characters teklîf dy (differential ên y) û dx (dîferensiyel ji x). Ev girîng e ku fêm bikin ku dîferensiyel e nirxa nîhaî ne, û ev bi wate û fonksiyona sereke ye.

Û niha divê tu hêmanên jêr, ku divê em wê ji bo ravekirina têgeha differential equation bifikirin. Ev - works.

works

Her yek ji me divê li dibistanê û ev têgiha bihîst. Ew dibêjin ku works - rêjeya mezinbûna an decrease ji function e. Lê belê, ev pênase tevlîhev dibe. Bila ji me re hewl da ku rave warê works of the differentials. De em herin back to function interval infinitesimal bi du xalan, ku ji dûr ve herî kêm ji hev û din de ye. Lê belê li derveyî vî wezîfeyî dûr dema guhertina ji bo hin nirxên e. Û ji bo danasîna ku guherîn û bê up bi works ku na, dê wekî mêrtiyê ya differentials nivîsîn, wê bên: f (x) '= df / dx.

Niha jî ji bo ku taybetiyên bingehîn ên works pêwîst e. ne bi tenê sê heye:

1. sum works an cudahiya dikare wekî yekûna an ferq ji jêderên temsîlkirin: (a + b) '= a' + b ', û (ab)' = a'-b '.
2. Ku milkê duyem bi multiplication ve girêdayî ye. - works yekûna karên yek function bo works din jî ev e: (a * b) '= a' * b + a * b '.
3. The works of cudahiya dikare wekî hêlekê li jêr hatiye nivîsîn: (a / b) '= (a' * ba * b ') / b ^2.

Hemû van taybetiyan in handy ji bo dîtina çareseriyên ji bo Differential hevkêşeyên yên ku fermana yekemîn bê.

Jî, ne jî jêderên bi parçe hene. Kî em xwedî fonksiyona ji z, ku girêdayî guherbarên x û y. To hejmêrim works qismî ya vî wezîfeyî de, bo nimûne, di x, divê em ji bo vê y variable ji bo her tim û bi hêsanî ji hev cuda.

perçeyên

Din têgîna girîng - entegrasyona. Di rastiyê de ev bixwe dijbera ji works e. Integrals cureyên gelek in, lê herî hêsan û çareseriyên ji hevkêşeyên dîferensiyel de, divê em xeberên herî integrals ya bêdem.

Îcar, çi li perçeyên girîng e? Werin, em dibêjin, em hin têkiliya f ji x hene. Em ji wê hilde perçeyên û bidestxistina a F function (x) (ku gelek caran wek primitive kirin), ya ku works of the function original. Ji ber vê yekê F (x) '= f (x). Ev jî dide xuyakirin ku bingehîn a works ji function original wekhev e.

Di çareserkirina hevkêşeyên dîferensiyel de pir girîng e ji bo têgihiştina wate û fonksiyona ya integral, ji ber ku gelek caran ji bo ku wan hilde ji bo çareseriyê bibîne.

Hevsengiya li gor xwezaya xwe de cuda ne. Di beşa pêş de em dê li ser cureyên hevkêşeyên da differential yekem binêrin, û paşê hîn bibin çawa bi wan re çareser bike.

Ders ji hevkêşeyên differential

"Diffury" dabeş bi fermana jêderên ku tev li wan. Bi vî awayî ye ku ji bo cara yekem, duyem, sêyem an jî zêdetir heye. ji rêzê û bi qismî: Ew jî dikarin nav çend parçe bibe.

Di vê gotarê de, em ê hevsengiya differential asayî yên ji bo çavan. Nimûne û çareseriyê em li beşên jêr nîqaş bikin. Em tenê, li Leleşê ji ber ku ev cure hevpar piraniya hevkêşeyên e. Asayî nav binecureyan bi dabeş: bi guherbarên separable, homojen û faaliyetên. Next hûn dê hîn bibin ku çawa ji hev cuda ne, û hîn dibin çawa ji wan re çareser bike.

Li gel vê, van hevkêşeyên dikarin li hev bikin, da ku piştî em sîstema hevkêşeyên differential yên ku fermana yekemîn bistînin. Sîstemên, em bi binêrin û hîn dibin çawa çareser bike.

Çima em difikirin tenê ji bo pêşî? Ji ber ku pêwîst e ji bo sade bi dest û salix hemû têkildar bi hevkêşeyên dîferensiyel de, di gotara yek ne mimkun e.

Equations bi guherbarên separable

Ev e, belkî li hevkêşeyên sade herî pêşîn da differential. y '= f (x) * f (y): Ev wergerandî ku dikare wekî nivîsîn in. Ji bo çareserkirina vê hevkêşeyê divê em formula temsîlkirina works wek mêrtiyê ya differentials: y '= dy / dx. dy / dx = f (x) * f (y): bi it em hêlekê bigirî. di beşên pêş de hemû y variable de, di beşa ku derê ye dy li wir hev vediqetîne guherbarên, ango rojiyê, û her weha x variable bide ...: Êdî em dikarin bi rêbaza çareseriya wergerandî standard vegerin dy / f (y) = f (x) dx re, ku ji aliyê pûana integrals ji du beşan pêk: Em hevsengiyekê ya formê bidestxistina. Ma li ser berdewam ji bîr nekin ku hûn dixwazin piştî entegrasyonê kirin.

Ji bo çareseriya ti "diffura" - we'deva x destê y (di doza me) ye, an jî eger rewşa hejmarî heye, bersiva hejmara e. Bila ji me re mînakeke berbiçav temamê qursa ya li biryarê dinirxînin:

y '= 2y * guneh (x)

Veguheztin guherbarên di dîrektîfên cuda:

dy / y = 2 * guneh (x) dx

Niha integrals bigirin. Hemû ji wan dikare bê li ser masê taybet yên integrals dîtin. Û em get:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Ger hewce be, em dikarin bi "y" jî li gor "X" îfade. Niha em dikarin bêjin ku differential equation me çareser nebe, eger rewşa ne diyar. Dikare rewşa xwe dişinî, ji bo nimûne, y (n / 2) = e. Hingê em bi hêsanî bi nirxê van guherbarên di biryarê de dê bixistana û bibînin nirxê ya domdar. Nimuneya me de, ev 1 e.

hevkêşeyên differential da yekem homojen

Niha li deverên tevlîhev. y '= z (x, y): hevkêşeyên da differential yekem homojen dikarin di forma giştî wek ku hatiye nivîsîn. Ev divê bê diyarkirin, ku fonksiyona mafê du fakter bi unîformên e, û ew ne dikarin bên nav du li gor dabeş: z x û z ji y. Kontrol bike bê ka hêlekê ve homojen e an ne, ye, gelekî sade: em bikin têxî x = k * x û y = k * y. Niha em birrîn hemû k. Eger van nameyan berdaye bi, paşê hêlekê homojen û bi ewlehî ji bo çareserîya wê dewam. Li benda, em dibêjin: li gorî prensîba çareseriya van wergerandî e jî pir hêsan.

Pêwîst e ku em li têxî: y = t (x) * x, ku t - we'deva ku li ser x jî girêdayî ye. y '= t' (x) * x + t: hingî em dikarin works îfade. Dêlva hemû ev nav hevkêşeya me yên resen û yekkirina ew, em xwedî nimûne ji veqetîna guherbarên t wek x. Çareser bike û standinê girêdayî yên t (x). Dema ku em lê siwar bûn, bi tenê yên berê têxî y = t me (x) * x bixistana. Hingê em girêdayî yên y li ser x bigirî.

Ji bo wê zelaltir, em wê mînaka fêm: x * y '= yx * e y / x.

Dema bikarbîne, li şûna hemû kêmbûna. Bi vî awayî, hêlekê bi rastî jî homojen e. Niha têxî din bikin, em li ser axivî: y = t (x) * x û y '= t' (x) * x + t (x). Piştî sivikkirina hêlekê jêr e: t '(x) * x = -e t. Em biryarê ji bo bidestxistina mînakan bi guherbarên cudakirin û em ^{get: e -t = ln (C *} x). Em divê ku li şûna t destê y / x (ji ber ku eger y = t * x, paşê t = y / x), û em ^{bersiva get: e -yan / x = ln (} x * C).

differential equation Linear yên ku fermana pêşîn

Ev dem ji bo ku li ser mijara din fireh e. Em dê hevkêşeyên dîferensiyel de first-order, faaliyetên binêre. Ez çawa dikarim ew ji her du yên berê cuda ye? Bila ew bi rû ne. hevkêşeyên yekem differential da Linear di forma giştî ji hêlekê dikare bi vî awayî nivîsî: y '+ g (x) * y = z (x). Ev divê bê zelalkirin ku z (x) û g (x) dibe ku nirxên berdewam.

- y * x = y ': Here nimûne ye x ^2.

Du rêyan ji bo çareserkirina heye, û em siparîşa Werin em hem ji wan biceribînim. The yekem - metoda ji roziya constants kêfî.

Ji bo çareserkirina hevkêşeyên bi vî awayî, wê pêwîst e ji bo Têbîniyên cara yekem aliyê rastê sifir, û çareserkirina hevkêşeyên di encamê ya ku piştî veguhestina parçeyên dibe:

y '= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = Jaylin;

ln | Y | = x ^2/2 + C;

y = e ^{x2 / 2} * ^C y = C ₁ * e ^{x2 / 2.}

Niha jî ji bo li şûna berdewam C ₁ li ser fonksiyona li v (x), ku em dê bibînin pêwîst e.

y = v * e ^{x2 / 2.}

Draw a works li şûna:

^{y '= v' * e x2} / ² -x * v * e ^{x2 / 2.}

Û dêlva van îfadeyên nav hevkêşeya original:

v '* e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Hûn dikarin bibînin ku li aliyê çepê, ji her du alî bi kêmkirin. Heke hinek nimûne ku rû neda, hingê hûn tiştekî nerast nekiriye. Em berdewam:

v '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Niha em çareserkirina hevkêşeyên normal in ku hûn dixwazin ji hev cuda de tê guherîn:

dv / dx = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

dv = x ² * e ^{- x2 / 2} dx.

To jê integral, em daxwaz û întegrasyonê ji aliyê beşên here. Lê belê, ev e mijara vê gotara ne. Eger hûn bala bî, tu dikarî li ser xwe bi xwe avabûye ji bo çalakiyên wiha fêrî. Ev e, ne zehmet, û bi hunereke û lênêrîna bes e demê disitîne ne.

De destnîşan kir ku metoda duyemîn çareseriyê yên wî hevkêşe inhomogeneous: method Bernoulli. Çi helwest e zûtir û hêsantir - ev ji bo we.

Loma, gava ku çareserkirina vê rêbazê, divê em ji bo ku têxî: y = k * n. Li vir, k û n - hin fonksiyonên li gor x. Hingê works wê wek binêrin: y '= k' * n + k * n '. du Substitutions de cîgir hevkêşeya:

k '* n + k * n ' + x * k * n = x ^2.

Pol up:

k '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

Niha jî pêwîst e ji bo Têbîniyên sifirê, ku di nav parantezê de. Îcar, eger tu êlêmêntên du Xwarezmî di encamê, em bigihîjin pergala hevkêşeyên dîferensiyel de, da ku pêşî bi bê çareser kirin:

n '+ x * n = 0;

* K 'n = x ^2.

Ya yekem, wekhevî biryarê çawa hêlekê normal in. Ji bo vê jî, divê hûn ji hev cûda de tê guherîn:

dn / dx = x * v;

dn / n = Jaylin.

Em rahêjin perçeyên û em bigihîjin: ln (n) = x ^2/2. Îcar, eger em îfade n:

n = e ^{x2 / 2.}

Niha hevkêşeya di encamê nav hevkêşeya duyemîn têxista:

k '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Û veguherîne, em hêlekê heman bidestxistina ku li metoda yekem de:

dk = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Em jî dê bêtir çalakî nîqaş nakin. Tê gotin ku li hevkêşeyên dîferensiyel de first-order yekem çareserî dibe sedema zehmetiyên girîng. Lê belê, herikandinê kûrtir di vê mijarê de ye dest pê dike ji bo çêtir û baştir.

hevkêşeyên dîferensiyel de li ku derê ne?

hevkêşeyên gelekî çalak dîferensiyel de tê bikaranîn di warê fîzîkê de, wekî hema hema hemû yasayên bingehîn di forma dîferensiyel de hatiye nivîsîn, û kesên ku formuleke, ku em dibînin - bo çareseriya van hevkêşeyên. Di kîmyayê de, ew bi ji ber heman sedemê bikaranîn: yasayên bingehîn bi rêya wan Navdêr. Di bîyolojî, hevkêşeyên dîferensiyel de bi bikaranîn û ji bo modela tevgerê yên sîstemên, wek predator - nêçîra. Ew jî dikarin bên bikaranîn ji bo afirandina modelên ji nû ve hilberîn, ji bo nimûne, ji kolonîyên dihîne.

Wek hevkêşeyên dîferensiyel de di jiyanê de alîkariya?

Bersiva vê pirsê hêsan e: tiştek. Eger hûn ne ku zanaya an endezyar ne, zehmet e ku ew dê bi feyde be. Lê belê, ziyanê ne ji bo çi dizanin hevsengiyekê dîferensiyel de û ku ji bo pêşketina giştî çareser bibe. Û piştre li ser pirsgirêka kur an keça, "çi differential equation?" Ma hûn di dawiya mirî danî ne. Baş e, eger tu zanyarê an endezyar in, hingê hûn dizanin li ser girîngiya vê mijarê de ti zanist. Lê ya herî girîng, ku niha ji bo pirsa "çawa ji bo çareserkirina hevkêşeyên differential yên ku fermana yekemîn?" hûn karibe her tim bersiva wê bê. Dipejirînim'ê, ew her tim baş e ku hûn bizanin ku çi kes in, heta ditirsim ku bibînin.

Pirsgirêkên sereke di lêkolînê de

Pirsgirêka sereke di têgehiştina me li ser vê mijarê, diįe xerab yên entegrasyonê û cudakirina fonksiyonan e. Eger tu ne rehetin wezîfe û jêderên û integrals, ev e dibe hêjayî bêtir fêr, hîn bibin bi rêbazên cuda yên entegrasyonê û cuda, û bi tenê ji bo vê lêkolînê de ji materyalên ku di gotara şirove kirin dewam.

Hinek mirov şaş ji bo fêrbûna ku dx dikarin bên veguhestin, wek ku berê jî (li dibistanê) îdia dike ku li fraction dy / dx dabeşkirin e. Hingê divê hûn ji bo xwendina wêjeya li ser works û fêm bikin ku ev helwesta quantities zahf biçûk, ku dikare di çareserkirina hevkêşeyên metne e.

Gelek kesan jî di cih de ne bizanin ku ji bo çareserkirina hevkêşeyên differential nîzama yekem - ev e gelek caran fonksiyon an neberuschiysya integral, û ev xapandineke bi wan dide, gelek teng de.

Din çi dikare were vekolîn ji bo baştir fêm?

herî baş ew e ku dest bi herikandinê zêdetir nav cîhana differential calculus ji pirtûkên bi taybetî, ji bo mînak, di analîza bîrkariyê de ji bo xwendekarên ji pisporîyên non-matematîkî. Paşê tu dikarî ji wêjeya bi taybetî zêdetir bar.

Ev gotin ku, ji bilî li dîferensiyel de, hê jî ne hevkêşeyên entegrasyona li wir, da ku tu her tim tiştekî bi xîret ji bo çi û ji bo xebatê wê.

encamê de

Em hêvî dikin ku piştî xwendina vî babetî dxwazîn tu dê fikra çi hevkêşeyên dîferensiyel de û çawa ji wan re çareser nexuye.

Di her rewşê de, matematîk, di tu tiştî de ji me re bi kêrhatî di jiyanê de. Ev pêş û mentiq û bal kişand, bêyî ku her mirov, wek ku bê dest.