Sîstema danûstendinên algebraic linear. Pergalên homogeneous ên wekhevên algebraic yên linear

Vegere di dibistanê de, her yek ji mebestên xwendin û, belkî, pergala hevpeymaniyê. Lê pir kes ne dizanin ku çend rêbaz hene ku çareserkirina wan bikin. Îro em ê li ser hemî rêbazan ji bo çareserkirina sîstemên algebraic linear yên ku ji bilî duhevhevtir pêk tê de li serfirehê biaxivin.

Dîrok

Dîroka, ew tê zanîn ku hunerî çareserkirina hevpeyman û sîstemên wan di nav Babîlê û Misirê de hatine çêkirin. Lêbelê, wekhevî di forma niştimanî ya xwe de piştî piştî nîşana nîşana wekhevî "=", xuya bû, ku di 1556 de ji hêla Radyoya Mathematîkî ya Îngilîzî ve hate şandin. Bi awayê, ev nîşanek ji bo sedemek bijartî ye: ev tê wateya parçeyên du wekhev. Û rast e ku nimûneyeke çêtirîn ya wekheviyê bê xuyakirin.

Damezrandina navnîşên alfabetên modern ên nenas û nîşanên dersa fransî Francois Viet ye. Lêbelê, hûrgelên wê ji îro ji hêsantir cuda bûne. Ji bo nimûne, hejmarek nenas ji hêla Q (Latin "quadratus"), û kubê bi nameya C (Latin "cubus") tête nîşan kirin. Ev nimûneyên nuha xemgîn e, lê hingê ew rêbazek herî zehf bû ku ji bo pergalên algebraic yên pergala nivîskî binivîsin.

Lêbelê, hilweşandina di rêyên paşerojê de bû ku mathematîkan tenê tenê rodên erênî tê dîtin. Dibe ku ev yek ji rastiyê ye ku nirxên neyînî negerînek pratîk tune. Her weha, mathematîkên Îtalî Niccolo Tartaglia, di sedsala 16'an de Gerolamo Cardano û Rafael Bombelli yekemîn bû ku ji rokên negatîf bifikirin. Forma nûjen, rêbazek sereke ya çareserkirina wekheviyên (cudagerî) bi tenê di sedsala 17emîn de ji kerema xwe re karên Descartes û Newton hate afirandin.

Di naviya sedsala 18emîn de, mathematician mathematician Gabriel Kramer ku rêbazên çareserkirinê yên hêsan ên hêsan hêsan hêsantir dît. Ev rêbaz paşê paşê navê wî hatibû dayîn û ji vê rojê re em bi kar tînin. Lê em ê li ser rêbazek Kramerê piçûk diaxivin, lê ji bo niha, em ê lihevhatinê ji bo sîstemê ji hev veguherandin û rêbazên rêzikaran re gotûbêj bikin.

Wekhevî

Wekheviyên Rêzar ên yekîneyên herî bi hêsantir in. Ew wek algebraqî têne dabeş kirin. Equansiyonên Linear di forma gelemperî de têne nivîsandin: " ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... a _n * x _n = b. Nûnerên wan di vê formê de ji bo sazkirina pergalên pergalê û paqijan hewce ne.

Sîstema danûstendinên algebraic linear

Dîroka vê peyvê ye: ew yekînek wekhevî ye ku çend mêjeyên nenas û çareseriyek hevpar heye. Wekî ku desthilatdariyê, li dibistanê, her tişt bi sîstemên ku bi du an jî heta sê hevpeymanan çareser kirin. Lê sîstem hene ku bi çar anjî zêdetir. Bila yekem li binêrin, çawa çawa ji wan re binivîse, da ku paşê ew hêsanî çareser kir. Ya yekem, pergalên lênêrîna algebraîk ên xerîb dê çêtir bikin ku heger her cûrbecî wek x-ê bi navnîşa peyivîn: 1,2,3 û soz tê nivîsandin. Ya duyemîn, pêwîst e ku hemhevkirina hemîhevkirin bi forma canonîk a: ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... a _n * x _n = b.

Piştî van çalakiyan, em dikarin dest pê bikin ku çawa çareseriya sîstemên pergala razariyê yên çawa bibînin. Pir ji bo vê yekê em pêdivî ye.

Matrices

Mîtroşek maselê ye ku rêzên rêzikan û kolonî hene, û li ser dravên xwe hene. Ev yek an jî nirxên taybet hene. Bi gelemperî, ji bo nimûneyên hêja, ew li jêr beşên jêrîn têne kirin (wek mînak, ₁₁ an jî ₂₃ ). Lîsteya yekemîn e ku hejmara navnîşê ye, û duyemîn eynî ye. Li ser matrices, û herweha li ser hûrgelên mathematîk ên din, hûn dikarin tevlî operasyonên cuda bikin. Wusa, hûn dikarin:

1) Vebijandin û heman sifiran zêde bikin.

2) ji hêla matrix ve bi hejmarek an vector.

3) Veguhêrin: Pûçeyên matrixê di binavên, û stûnên di nav rêzan de biguherînin.

4) Heke hejmara rêzên yek ji wan re hejmara hebên din ên din ên wekhev be.

Em ê her tecrûbeyên teknolojî li ser bêtir li ser hevdîtinan bipeyivin, ji ber ku ew di pêşerojê de bi me re karanîn in. Vejirandin û herweha dravên pir hêsan e. Ji ber ku em mîkroşên heman rengî digerin, her elementek yekemek li ser her hêmanê din ê heval e. Ji ber vê yekê em van du elementan zêde bikin (ew girîng e ku ew di heman zeviyan de di nav mûçeyan de bimînin). Dema ku matrixek bi hejmar an vector ve zêde dibe, hûn bi her hêlên matrixê bi vê hejmarê (an vector) zêde dibin. Veguhastina pêvajoyek gelekî balkêş e. Gelek zehf bi balkêş e ku carî di jiyanê rastîn de dibînin, ji bo nimûne, gava ku veguherîna veguhastina telefon an telefonê biguherînin. Şîfreyên li ser sermaseyê matrix e, û dema ku rewş guherîn, ew veguherîn û mezin dibe, lê di asta kêm dike.

Ka em hîn pêvajoyek analîz bikin, wekî ku pîvana matrixes. Her çiqas ew bi dest ne tê, ev ê hîn jî dê bi zanebûn be. Dema ku hejmara hebên sifrê heya hejmara hejmarên din ên wekhev be, heke du mîkroşên pirrjimar dibin. Niha em ji hêla rêzeya yek matrix û hêmanên yên dora yên din ên din dikin. Em ji wan re yek ji wan re zêde bike û paşê wan (ew e, wekî hilberê elementên ₁₁ û _{12 an} bi b ₁₂ û b ₂₂ e: ₁₁ * b ₁₂ + a ₁₂ * b ₂₂ ). Ji ber vê yekê yek yekeya tîpa tête wergirtin, û heman rêbazê di din de tije ye.

Niha em dikarin dest pê bikin ku çawa pergala ramanar a ramanan çareser dibe ku çawa çareser kirin.

Rêbazê Gaussê

Vê mijarê dest pê dike ku di dibistanê de pêk tê. Em têgehek têgeheke "pergala hevdu du rêzar" baş e û dikare çareser bikin. Lê heke heger hejmara heqîqetan ji du ji mezintir e? Methoda Gauss dê di vê yekê de alîkariya me bike .

Bê guman, ew hêsan e ku ev rêbaz bikar bînin eger heger matrix ji sîstema xwe re bike. Lê hûn nikarin wê biguherînin û di forma xwe ya paqij de çareser bikin.

Ji ber vê yekê sîstema gazariyên gazar çawa ev rêbaz çareser dike? Bi awayek, tevî vê rêbazê wî bi navê wî tê dayîn, lê ew di demên kevnar de hat dîtin. Gauss ev pêşniyar dike: Ji bo xebatên wekheviyê pêk bikin, da ku ji dawiyê tevahiya hevberî bi forma yekser-a-şêwê bibin. Ew e, ew hewce ye ku ji yekem yek ji yekahevkirina dawiya dawîn ve ji binê jêrîn (eger bi awayek rastîn) ji bo yek ji nenas kêm dibe. Di heman demê de, em hewce ne ku vê yekê bikin ku em gihîştin, bêjin, sê hevpeymanan: di yekem-sê naskirî de, di duyem-du, di sêyem yek de. Piştre ji damezrandina dawîn em ê yekem nenas dibînin, di duyem an jî yeka yekem de hilbijêre, û paşê dû herduheviyên mayîn mayîn bibînin.

Rêbazê Cramer

Ji bo vê rêbazê bifroşin, pir girîng e ku ji bo pisporên din, paqijkirina dravaniyê, û herweha jî bikaribin ku biryardar bibînin. Ji ber vê yekê, eger hûn biqewimin an çi bikin, hûn ê bizanibin û hîn bikin.

Vê çavkaniya vê rêbazê ye û çawa çawa çêbikin ku pergala hevpeymaniya Cramerê wergirtiye? Ew pir hêsan e. Divê em pêdivî ye ku matrixa hejmarî (hema her tim) hebûnên pergala pergala algebraic a sîstemê. Ji bo vê yekê, hejmara hejmara li ber nenasan bikişînin û li ser sifrê rûniştî da ku ew di pergalê de têne nivîsîn. Heke li pêşî hejmara "-" îmkan heye, hingê hûrgelek neyînî binivîse. Ji ber vê yekê, me matrixên yekem yên kûçikên ji ber ku nenasên nifşkirî (hejmareke xwezayî ye ku divê wekheviya çepê ya rastê jî tenê hejmarek, û çepê hemî nasnameyên bi nehêle hene). Piştre em hewce ne ku ji bo her her guherînek gelek paqijan çêbikin. Ji bo vê yekê, li mata yekem ê veguherîn, her yekem bi reaksiyonên yekem ên hejmarek piştî piştî signa wekhev e. Ji ber vê yekê em gelek mîkroşên wergirtin û paşê biryarên xwe bibînin.

Piştî ku em biryarên dîtin, tiştek hindik e. Em bi matrixek destpêkê heye, û gelek hejmar hene ku lihevhatinên cuda hene. Ji bo çareserkirina sîstemê, em dabeşkerê ya sîgorteya duyemîn di çarçoveyek yekemîn de dabeş parve dikin. Hejmareke nirx e ku nirxek yek ji pevçûnan e. Bi vî rengî, em hemî nasname ne.

Rêbazên din

Ji bo çareserkirina sîstemên lênêrînê yên gelek ji bo rêbazên din hene hene. Ji bo nimûne, ku bi navê Gauss-Jordan tê bikaranîn, ku tê bikaranîn ji bo çareserkirina pergala quadrik a çareseriyê ye, ew jî ji bo bikaranîna matrîsan jî heye. Ji bo çareserkirina sîstema algebraic linear heye jî rêbazek Jacobi heye. Ew ji bo komputerek herî mezintir e û di teknolojiya komputerê de tê bikaranîn.

Rewşên tevlîhev

Gelek pirrjimar dibe eger hejmara heqfa ji hejmara hejmaran kêmtir e. Piştre em ji bo hin kesan dikarin bibêjin ku an jî sîstem neheq e (ew e, ew cereb tune ye) an hejmarek çareseriya wê tête navîn. Heke ku me doza duyem heye, em hewce ne ku çareseriya gelemperî ya pergala ramanar a linear binivîsin. Ew ê bi kêmanî yek guherîn heye.

Encam

Ji ber vê yekê em di dawiyê de hatin. Bila her tiştî bikin: Me çi pergala pergalê û matrix tête analîz kirin, û em hîn bûn ku çawa çareseriya gelemperî ya pergala lênêrîna rêjeyê bibînin. Her wiha, em alternatîfên din têne fikirin. Me dît ku çawa sîstema rêjeyên ramanar çareser kirin: Methodê Gauss û Rêberê Kamerê. Me di derbarê mijarên zehmet de û rêbazên dîtina çareseriyê dipeyive.

Di rastiyê de, ev mijar gelekî mezintir e, û eger hûn dixwazin baştir bikin fêm bikin, paşê em pêşniyar dikin ku wêjeya bêhtir pispor.