Differentials - ev çi ye? How to find dîferensiyel ji function?

Pê re jî jêderên erkên xwe differentials - ev hin ji yên ku têgehên bingehîn yên di warê dîferensiyel de, di beşa sereke ya analîza matematîkî. Wek ku diramin û girêdayî, hem jî ji wan çend sedsalan bi berfirehî di çareserkirina hema hema hemû pirsgirêkên ku di dema çalakiyên zanistî û teknîkî rabû bikaranîn.

Derketina holê ya têgeha differential

Ji bo cara yekemîn eşkere kir ku bi vî rengî dîferensiyel de, yek ji damezrênerên (bi Isaakom Nyutonom) dîferensiyel de hesabekî navdar German mathematician Gotfrid Vilgelm Leybnits. Berî ku xebatkar sedsala 17'an. bikaranîn ramaneke pir ne zelal û şîlo yên hin infinitesimal "bibin``" ti fonksiyona tê zanîn, nûnerên nirxekî gelekî piçûk her tim di heman demê de ji bo zero wekhev ne, li jêr, ku nirxên ku fonksiyona ne bes be. Ji ber vê yekê jî, bi tenê yek gavek ji bo danasîna têgeha qonaxan infinitesimal ji behanên function û qonaxan karûbarên xwe de ji fonksiyonên ku dikare di warê jêderên ji ya dawîyê de diyar bû. Û vê gavê hema hema bi carekê li ser du zanyarên mezin ve hate binçavkirin.

Li ser pêwîstîya ji bo çareserkirina bilez pirsgirêkên pratîk çerxên ku rû zanist bilez pêş pîşesazî û teknolojî, Newton û Leibniz riyên hevbeş yên peydakirina ji fonksiyonên ji rêjeya guhertina (bi taybetî ji bo leza mekanîk ji bedenê yên ku rotaya bi zanîn), ku bû sedem ku danasîna têgihên tên afirandin, wek ku fonksiyona works û dîferensiyel de, û her weha dît ku rêbaza bervajiya çareseriya pirsgirêkê wek tê zanîn her se (variable) Leza traversed bibînin rêya hatiye ku bi konsepta ji perçeyên birin Ala.

Di karên Leibniz û Newton ya ramana yekem wisa xuya bû ku differentials - rêjeyî ji increment ji argumanên bingehîn Δh qonaxan fonksiyonên Δu ku dikare bi serkeftin ji bo hesabkirina nirxa ku ji ya dawîyê ye. Bi gotineke din, ew kifşe kir ku fonksiyona increment dikarin li ser ti xalan (di nava domain xwe ya pênase) be bi rêya xwe works hem Δu = y '(x) Δh + αΔh ku α Δh ziman - mayî, ketibin bin sifirê wek Δh → 0, gelek zûtir ji ya Δh rastî.

Li gorî ji damezrênerên analysis bîrkariyê de, li differentials - ev e tam perîyoda pêşîn qonaxan ji karên. Even, bêyî ku bi awayekî zelal destnîşan kirin Rêzkirinên li konsepta limit bi gohan fêmkirin ku nirxê differential ji works hevkêşeyê de xebatê dike, dema Δh → 0 - Δu / Δh → y '(x).

Berevajî Newton, ku di serî de fîzîknasekî û çerxa bîrkariyê de wek haletekî auxiliary ji bo lêkolîna pirsgirêkên fizîkî hesibandin bû, Leibniz zêdetir girîngiyê bi vî rengî tê dayin, di nav sîstemeke sembolan dîtbarî û hêsa, nirxên matematîkî. Ev ew bû ku pêşniyar li ser jimara standard ên differentials function dy = y '(x) dx, dx, û works of the function argumana wek y têkiliya xwe' (x) = dy / dx.

The pênase modern

dîferensiyel di warê matematîkê de modern çi ye? Ev ji nêzîk ve têkiliya xwe bi konsepta ji increment variable related. Eger variable y digre û nirxê yekemîn ya y y = _1, piştre y = y _2, ji y cudahiya ₂ ─ y ₁ tê gotin y nirxa increment. The increment dikare erênî. neyînî û sifir. Peyva "increment" terxan kirin Δ, Δu qeydkirinê (xwendin 'delta y') pêre dijî nirxê y increment de. da Δu = y ₂ ─ y _1.

Ger nirxa Δu function kêfî y = f (x) dibe ku wek Δu = A Δh + α, ku A no girêdayîbûna Δh, t e temsîlkirin. E. A = const ji bo x dayîn, û têgeha α di dema Δh → 0 ber bi nemayê ev e, heta zûtir ji ya Δh rastî, wê demê ya yekemîn ( "master") a term nîsbet Δh, û ji bo (x) differential y = f, kevanan dy an df (x) (xwendin "y de", "de eff ji X"). Ji ber vê yekê differentials - a "sereke" bi dîmenan bi rêzgirtina ji bo hemû pêkhateyên qonaxan fonksiyonên Δh.

şiroveyan mekanîk

Bila s = f (t) - ji dûr ve li xeta di cih de koça ber xala madî ji rewşa destpêkê (t - travel time). Increment Δs - nuqteya rê di dema interval dem Δt e, û ds dîferensiyel = f '(t) Δt - ev rê, ku xala dê ji bo di heman demê de pêk Δt, eger çûyîne, leza f' (t), gihişt di dema t . Dema ku ds Δt rêya xeyalî infinitesimal ji Δs rastî infinitesimally ku nîzama bilind bi rêzgirtina ji bo Δt jî cihê ye. Eger bi leza di dema t e sifir wekhev ne, li ds nirxa nêzîkî dide xala bias biçûk.

şiroveyeke geometrîk

Bila ji xeta L li grafîka ya (x) y = f e. Hingê Δ x = MQ, Δu = QM '(bibînin. Figure jêr). Tangent MN dişikîne Δu birrîn nav du beş, QN û NM '. First û Δh e nîsbet QN = MQ ù tg (QMN kûrayî) = Δh f '(x), t. E QN differential dy e.

Beşê duyem yê cudahiya Δu NM'daet ─ dy, dema ku Δh length → 0 NM 'kêm heta zûtir ji ya increment a argumana, ango ev fermana smallness bilindtir e ji Δh. Di vê rewşê de, eger '(x) ≠ 0 (tangent non-paralel OX) beşên f QM'i QN wekhev bibîne; bi gotineke din NM 'bi lez kêm (fermana smallness yên bilind wê) ji increment total Δu = QM'. Ev eşkere di Xiflteya (mot'acê nêzîk M'k M NM'sostavlyaet hemû rêjeya QM ', mot'acê piçûk) e.

Bi vî awayî, graphically Differential function kêfî ji increment ji koordîne yên tangent wekhev e.

Works û differential

A faktora di dewra yekem ya function îfade increment ji bo nirxê f works xwe '(x) wekhev e. Bi vî awayî, li jêr têkiliyên - dy = f '(x) Δh an df (x) = f' (x) Δh.

Ev tê zanîn ku increment a argumana serbixwe ji bo differential Δh = dx xwe wekhev e. Li gorî vê, em dikarin binivîsin: f '(x) dx = dy.

Diyarkirina (carna re got ku ew "bi biryara") differentials bi heman qaîdeyên ku ji bo jêderên çêkirin. A list of wan li jêr tê dayîn.

Çi gerdûnî zêdetir e: increment a argumana an differential xwe

Li vir ji bo ku hin şûpdarê pêwîst e. Nûnertiya nirxa f '(x) differential Δh gengaz, gava mirov x wekî argumana. Lê function dikare tevlîhev, li ku x dikarin li gor t argumana. Hingê temsîla îfadeya differential ji f '(x) Δh, wek qaîde, ev ne mimkun e; ji bilî di doza girêdayîbûna bi dîmenan x = li + b.

Wekî ku ji bo formula f de '(x) dx = dy, paşê jî di doza argumana x serbixwe (paşê dx = Δh) di doza girêdayî Parametric ji x t, ew dîferensiyel de ye.

Ji bo nimûne, îfadeya 2 x Δh de ye ji bo y = x ² differential wê di dema x çêtir e. Em niha x = t ² û t argumana de digire. Hingê y = x ² = t ^4.

Ev lelayen: (t + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ^{2 pey.} Ji ber vê yekê Δh = 2tΔt + Δt ^2. Ji ber vê yekê: 2xΔh = 2T ² (2tΔt + Δt ^2).

Ev îfade e bi nîsbet bi Δt, û ji ber vê yekê ye niha 2xΔh ye Differential ne. Ev dikare ji y hevsengiyekê = x ² = t ^{4 dîtin.} Ev dy wekhev = 4T ³ Δt e.

Heger em 2xdx ramanê de, ew dîferensiyel y = x ² ji bo ti t çêtir e. Bi rastî jî, gava ku x = t ² bidestxistina dx = 2tΔt.

So 2xdx = 2T ² 2tΔt = 4T ³ .DELTA.t, t. E. The differentials îfade tomarkirin ji aliyê du fakter cuda bikirina.

Şûna çend qonaxan differentials

Ger f '(x) ≠ 0, paşê Δu û cezayeke dy (gava ku Δh → 0); eger f '(x) = 0 (wate û dy = 0), ew in çûndin ne.

Ji bo nimûne, eger y = x ^2, paşê Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² û dy = 2xΔh. Eger x = 3, hingê em Δu = 6Δh + Δh ² û dy = 6Δh ku cezayeke ji ber Δh ² → 0 in, dema ku x = 0 nirxa Δu = Δh ² û dy = 0 in çûndin ne.

Ev rastî, bi hev re bi ser avahiya yên sade dîferensiyel (m. E. Linearity bi rêzgirtina ji bo Δh), gelek caran di hesab û nêzîkî li ser nerînê de tê bikaranîn, ku Δu ≈ dy ji bo biçûk Δh. Find function dîferensiyel de ye bi piranî bêtir bi hêsanî ji hesabkirina nirxa rastîn a increment.

Ji bo nimûne, em cube metallic bi qiraxa x = 10.00 cm. Li ser germkirinê, ji devê dirêj li ser Δh = 0.001 cm. Çawa zêdebûna cube bike? Em xwedî V = x ^2, da ku DV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ ¹⁰ Sibat 0/01 = 3 (cm ^3). Zêdebûna ΔV differential cezayeke DV, da ku ΔV = 3 cm ^3. qazenc Full dê ³ ΔV = 10,01 ─ March ¹⁰ = 3.003001 bide. Lê belê di encama hemû reqem ji bilî yekem tax; Ji ber vê yekê jî, ew hê jî pêwîst ji bo hawirdor, ji bo 3 cm ^3.

Aşkira ye, ev feraseta kêrhatî ye bi tenê eger gengaz e ku mirov texmîn nirxa hînkirin bi error.

function Differential: wergerandî

Werin, em hewl bidin ku bibînin dîferensiyel ji hevkęşeya y = x ^3, peydakirina works. Bila ji me re bide argumana increment Δu û define.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

Li vir, qatjimara A = 3x ² nade ser Δh girêdayî ne, da ku yekem dewra nîsbet Δh, Endamê din 3xΔh Δh ² + ³ ye dema Δh → 0 kêm zûtir ji ya increment a argumana. Encamê de, endamê 3x ² Δh dîferensiyel ên = x ³ y ^e:

dy = 3x ² Δh = 3x ² dx an d (x ³⁾ = 3x ² dx.

Tiþtê d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy Em niha peyda function y = 1 / x aliyê works. Hingê d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Ji ber vê yekê dy = ─ Δh / x ^2.

Differentials erkên bingehîn ceberî li jêr tên dayîn.

Hesabkirina Approximate bikaranîna differential

Ji bo nirxandina function f (x), û wê works f '(x) at x = a ku gelek caran zehmet e, lê ji bo ku ez heman li derdora x = a ne hêsan e. Paşê ji bo ku alîkariyên ji îfadeya nêzîkî were

f (a + Δh) ≈ f '(a) Δh + f (a).

Ev dide ku nirxa nêzîkî function li çend qonaxan biçûk bi riya differential xwe Δh f '(a) Δh.

Ji ber vê yekê, ev formula dide îfadeyeke nêzîkî ji bo fonksiyona li xala dawî ya ku beşekî ji a length Δh wek sum nirxê xwe li ber xala destpêke ji para (x = a) û dîferensiyel de di xala destpêke heman. Texmîna ji rêbaza ji bo diyarker nirxên wê yên ku fonksiyona jêr odên h'ejmara.

Lê tê zanîn û îfadeya rastîn ji bo nirxa ku li ser hevkêşeya x = a + Δh dayîn by formula qonaxan û aqilê (an jî, ya duyê, formula Lagrange da)

f (a + Δh) ≈ f '(ξ) Δh + f (a),

li cihê ku xala x = a + ξ di interval ji x = a ji bo x = a + Δh e, tevî ku rewşa rastîn wê ne diyar e. The formula rastîn dihêle ku ji bo nirxandina bi xapandina yên formula texmînî. Eger em di Lagrange formula ξ = Δh / 2 derxistin, tevî ku ew nerewa wê rast in, di heman demê de dide, ku di prensîpê de, nêzîkatiya gelek çêtir îfadeya original di warê dîferensiyel.

error formulas Nirxandina destê DTPyê differential

amûrên pîvana , di prensîbê de, xelet in, û bînin ji bo welat pîvandinê de, gor error. Ew bi destê rêlêgirtina bilêv ku çewtî mitleq, bi erênî, bi zelalî gelek çewtî di nirxa mitleq (an jî bi piranî wekhev ji bo it) - an de, di kin, ku çewtî difûre. Astengkirina ku çewtî relatîf e li quotient dest bi dabeşkirina wê bi nirxa mitleq ya nirxa pîva kir.

Bila rastîn formula y = f (x) function ji bo vychislyaeniya y, lê belê nirxa x encama pîvandinê de ye, û ji ber vê yekê tîne error y de. Hingê, ji bo dîtina vê rêlêgirtina error mitleq │Δu│funktsii y, bi bikaranîna formula

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

ku │Δh│yavlyaetsya argumana error marjînal. │Δu│ dikele, divê germî terk kirin, wek hesab û dîrokeke xwe li şûna yên increment li ser hesaba dîferensiyel de ye.